ODE 复习简记

最后更新时间：2023/12/31

宗旨： 计算只会通法，证明跳过不看，考试随缘摆烂。
以下内容不含作业。

Chapter 1

• 解 ODE 通用技巧
  • 构造全微分
  • 分离变量后积分
  • 变量代换：$z = at + by$，进而 $\displaystyle \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} = f(at + by) \Rightarrow \frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} = a + f(z)$
  • 变量代换：$u = \displaystyle\frac{y}{t}$，进而 $\displaystyle \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} = f\left(\frac{y}{t}\right) \Rightarrow \frac{{\rm d}u}{{\rm d}t} = \frac{f(u) - u}{t}$

Chapter 2

• 求 ${\rm e}^{t\bold A}$

  • 先求矩阵 $\bold A$ 的 Jordan 标准型 $\bold J$
    • 依次求特征矩阵 $\lambda \bold I - \bold A$ 的行列式因子、不变因子与初等因子，再根据初等因子写出 $\bold A$ 的 Jordan 标准型 $\bold J$
  • 再求可逆矩阵 $\bold P$ 使得 $\bold A = \bold P\bold J \bold P^{-1}$
    • 设 $\bold P = (\boldsymbol \alpha_1, \boldsymbol \alpha_2, \cdots, \boldsymbol \alpha_n)$，根据 $\bold{AP} = \bold{PJ}$ 写出关于各 $\boldsymbol{\alpha}_i$ 的方程，解这些方程
  • ${\rm e}^{t\bold A} = \bold P{\rm e}^{t\bold J}\bold P^{-1} = \bold P{\rm e}^{t\bold D}{\rm e}^{t\bold N}\bold P^{-1}$，其中 $\bold{D, N}$ 分别对应 Jordan 标准型中的对角部分和幂零部分

• 解 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold {Ay}$

  • 解为 $\bold y = {\rm e}^{t\bold A}\bold y_0$

• 解 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold A(t)\bold y$

  • 解为 $\bold y = \mathcal P\left({\rm e}^{\int_0^t \bold A}\right)\bold y_0$
    • $\mathcal P\left({\rm e}^{\int_0^t \bold A}\right) = \displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \int_0^{t}{\rm d}t_n\int_0^{t_n}{\rm d}t_{n-1}\cdots\int_0^{t_2}{\rm d}t_1 \bold A(t_n)\bold A(t_{n-1})\cdots \bold A(t_1)$，$\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\mathcal P\left({\rm e}^{\int_0^t \bold A}\right) = \bold A(t)\mathcal P\left({\rm e}^{\int_0^t \bold A}\right)$

• 解 $y^{(n)} + a_1(t)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(t)y' + a_n(t)y = b(t)$

  • 先找齐次方程 $y^{(n)} + a_1(t)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(t)y' + a_n(t)y = 0$ 的通解
    • 可以靠瞅
    • 有 $n$ 个线性独立的解
    • 当系数函数都是常函数，即方程为 $y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_ny = 0$ 时，设特征多项式 $P(\lambda) = \lambda^n + a_1\lambda^{n-1} + \cdots + a_{n-1}\lambda + a_n = (\lambda - \lambda_1)^{m_1}\cdots(\lambda - \lambda_k)^{m_k}$，则所有线性独立的解为 $\{t^{i_1}{\rm e}^{\lambda_1t}\}_{0 \leq i_1 < m_1}, \cdots, \{t^{i_k}{\rm e}^{\lambda_kt}\}_{0 \leq i_k < m_k}$（如果特征多项式有复数根 $\lambda = \alpha + \beta\rm{i}$，阶数为 $m$，由于实系数多项式的复数解一定成对存在，因此可以用实函数解 $\{t^i\cos(\beta t){\rm e}^{\alpha t}\}_{0 \leq i < m}, \{t^i\sin(\beta t){\rm e}^{\alpha t}\}_{0 \leq i < m}$ 来代替 $\{t^{i}{\rm e}^{\lambda t}\}_{0 \leq i < m}, \{t^{i}{\rm e}^{\bar\lambda t}\}_{0 \leq i < m}$）
  • 再找方程 $y^{(n)} + a_1(t)y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}(t)y' + a_n(t)y = b(t)$ 的特解
    • 可以靠瞅
    • 可以通过齐次方程的线性独立解来构造特解：设齐次方程的线性独立解为 $y_1, \cdots, y_n$，记 $\displaystyle W(t) = \det \begin{pmatrix}y_1 & \cdots & y_n \\ y_1' & \cdots & y_n' \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{pmatrix}, \displaystyle W_i(t) = \det \begin{pmatrix}y_1 & \cdots & y_{i-1} & 0 & y_{i+1} & \cdots & y_n \\ y_1' & \cdots & y_{i-1}' & 0 & y_{i+1}' & \cdots & y_n' \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ y_1^{(n-1)} & \cdots & y_{i-1}^{(n-1)} & b(t) & y_{i+1}^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)} \end{pmatrix}$，则特解可以表示为 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n y_i(t) \int_{t_0}^t \frac{W_i(s)}{W(s)}{\rm d}s$
  • 原方程的通解为特解加齐次方程的通解
  • 注意解之前先化方程的首项（求导次数最高项）系数为 $1$

Chapter 3

（以下默认 $\bold F(\bold y, t): U \to \mathbb R^n$ 连续且关于 $\bold y$ 局部 Lipschitz，其中 $U \subset \mathbb R^n \times \mathbb R$ 是开集）

• 解的存在性与唯一性：对任意 $(\boldsymbol\xi, t_0) \in U$，初值问题 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold F(\bold y, t), ~ \bold y(t_0) = \boldsymbol{\xi}$ 在充分小的区间 $(t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon)$ 上存在唯一解

• 解的最大存在区间：对任意 $(\boldsymbol\xi, t_0) \in U$，初值问题 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold F(\bold y, t), ~ \bold y(t_0) = \boldsymbol{\xi}$ 的解 $\bold y(t)$ 存在最大解区间 $(t_-, t_+)$，即若初值问题在区间 $I \ni t_0$ 上存在解 $\tilde{\bold y}(t)$，则 $I \subset (t_-, t_+)$ 且在 $I$ 上有 $\bold y(t) = \tilde{\bold y}(t)$

  • 如果解区间有限，则对任意紧集 $K \subset \mathbb R^n$，$\bold y(t)$ 在区间边界附近都会跳出 $K$
  • 一个工具，Grönwall 不等式：连续函数 $f:[a, b] \to \mathbb R$ 满足存在常数 $C, k$ 使得 $f(t) \displaystyle\leq C + k\int_a^tf(s){\rm d}s, \forall t \in [a, b]$ 成立，则 $f(t) \leq C{\rm e}^{k(t-a)}, \forall t \in [a, b]$
    • 证明方法中构造指数函数作因子的函数的微分这一步骤值得借鉴学习
    • 借用该不等式可以证明如果 $|\bold F(\bold y, t)|$ 能被 $|\bold y|$ 线性控制，即存在常数 $C, k$ 使得 $|\bold F(\bold y, t)| \leq C + k|\bold y|$ 成立，则初值问题 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold F(\bold y, t), ~ \bold y(t_0) = \boldsymbol{\xi}$ 的解的最大存在区间为 $\mathbb R$

• 解关于初值的连续性：对 $(\boldsymbol\xi_0, t_0) \in U$，设初值问题 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold F(\bold y, t), ~ \bold y(t_0) = \boldsymbol{\xi}_0$ 在区间 $(\alpha, \beta) \ni t_0$ 上的解为 $\bold y_0(t)$，则：对任意 $\alpha < t_1 < t_0 < t_2 < \beta$，存在 $\boldsymbol\xi_0$ 的邻域 $V \subset \mathbb R^n$ 使得对任意 $\boldsymbol\xi \in V$，初值问题 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold F(\bold y, t), ~ \bold y(t_0) = \boldsymbol{\xi}$ 在区间 $(t_1, t_2)$ 上有解，且若记解为 $\bold y(t, \boldsymbol{\xi})$，则存在常数 $L, M$ 使得 $|\bold y(t', \boldsymbol{\xi}') - \bold y(t, \boldsymbol{\xi})| \leq M|t' - t| + |\boldsymbol\xi' - \boldsymbol{\xi}|{\rm e}^{L|t - t_0|}, \forall \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi}' \in V, \forall t, t' \in (t_1, t_2)$ 成立

• 解关于初值的可微性：在上面连续性的基础上，再假定 $\bold F$ 在 $U$ 上 $C^1$ 连续。令 $\bold y_1(t)$ 是初值问题 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = D\bold F(\bold y_0(t), t)\bold y, ~ \bold y(t_0) = \boldsymbol{\xi}_1$ 在区间 $(\alpha, \beta)$ 上的解，其中矩阵 $D\bold F$ 满足 $(D\bold F)_{ij} = \partial_{y^j}\bold F^i$，$\boldsymbol{\xi}_1$ 是单位向量，则 $\bold y_1$ 即为 $\bold y(t, \boldsymbol{\xi})$ 关于 $\boldsymbol{\xi}$ 在 $\boldsymbol{\xi}_1$ 方向的导数

• Cauchy-Kovalevskaya 定理：设 $\bold F(\bold y)$ 在 $\boldsymbol{\xi}$ 的某一邻域内解析，则初值问题 $\displaystyle \frac{{\rm d}\bold y}{{\rm d}t} = \bold F(\bold y), ~ \bold y(t_0) = \boldsymbol{\xi}$ 在充分小的区间 $(t_0 - \varepsilon, t_0 + \varepsilon)$ 上的解 $\bold y(t)$ 也解析

Chapter 4

• 求线性 ODE 在常点附近的解

  • 设幂级数，代入方程，比较系数

• 求 2 阶线性方程 $y'' + p(t)y' + q(t)y = 0$（满足 $tp(t)$ 和 $t^2q(t)$ 解析）在 $0$ 附近的 Frobenius 级数解

  • 求指标方程 $\lambda(\lambda - 1) + p_0\lambda + q_0 = 0$ 的根，其中 $p_0 = \displaystyle\lim_{t \to 0} tp(t), q_0 = \displaystyle\lim_{t \to 0} t^2q(t)$，设两根为 $\lambda_1, \lambda_2$
    • $\lambda_1 - \lambda_2 \notin \mathbb Z$，方程有两个线性独立的 Frobenius 级数解 $\displaystyle t^{\lambda_1}\sum_{i = 0}^\infty a_nt^n, t^{\lambda_2}\sum_{i = 0}^\infty b_nt^n$
    • $\lambda_1 - \lambda_2 \in \mathbb Z, \lambda_1 < \lambda_2$，方程一定有一个 Frobenius 级数解 $\displaystyle t^{\lambda_2}\sum_{i = 0}^\infty b_nt^n$，另一个 Frobenius 级数解可能不存在
    • $\lambda_1 = \lambda_2$，方程只有一个 Frobenius 级数解 $\displaystyle t^{\lambda_1}\sum_{i = 0}^\infty a_nt^n$
  • 级数系数的确定也是通过代入方程，比较系数

Chapter 5

（以下默认问题区间 $I = [a, b]$）

• Sturm-Liouville 形式：$\left(p(t)y'\right)' + q(t)y = f(t)$
  • 一般形式的 2 阶线性方程 $a_0(t)y'' + a_1(t)y' + a_2(t)y = g(t)$ 可以借助替换 $\begin{cases}p(t) = {\rm e}^{\int_a^t \frac{a_1(s)}{a_0(s)}{\rm d}s} \\ q(t) = \displaystyle\frac{a_2(t)}{a_0(t)}{\rm e}^{\int_a^t \frac{a_1(s)}{a_0(s)}{\rm d}s}\\ f(t) = \displaystyle\frac{g(t)}{a_0(t)}{\rm e}^{\int_a^t \frac{a_1(s)}{a_0(s)}{\rm d}s}\end{cases}$ 转化为 Sturm-Liouville 形式
• 解的唯一性定理：非齐次方程 $\begin{cases}Ly := \left(p(t)y'\right)' + q(t)y = f(t) \\B_1y := \alpha_1 y(a) + \beta_1y'(a)\\ B_2y := \alpha_2 y(b) + \beta_2y'(b)\end{cases}$ 有唯一解当且仅当齐次方程 $\begin{cases}Lu = 0\\ B_1u = 0\\ B_2u = 0\end{cases}$ 只有零解，也即 $\det \begin{pmatrix}B_1u_1 & B_1u_2 \\ B_2u_1 & B_2u_2\end{pmatrix} \neq 0$，其中 $u_1, u_2$ 是 $Lu = 0$ 的两个线性独立的解
• 解 $\begin{cases}Ly = f(t)\\ B_1y = \xi_1\\ B_2y = \xi_2\end{cases}$（假设有唯一解）
  • 注意解之前先化方程为 Sturm-Liouville 形式
  • 先找 $\begin{cases}Ly = f(t)\\ B_1y = 0\\ B_2y = 0\end{cases}$ 的解：解为 $y(t) = \displaystyle\int_a^bG(t, s)f(s){\rm d}s$，其中 $G(t, s)$ 为 Green 函数
    • $G(t, s) = \begin{cases}\displaystyle\frac{1}{C}u_1(t)u_2(s), & a \leq t \leq s \leq b\\ \displaystyle\frac{1}{C}u_1(s)u_2(t), & a \leq s \leq t \leq b\end{cases}$，其中 $u_1, u_2$ 分别是 $\begin{cases}Lu = 0 \\ B_1u = 0\end{cases}$ 与 $\begin{cases}Lu = 0 \\ B_2u = 0\end{cases}$ 的一个非零解，常数 $C = p(u_1u_2' - u_1'u_2)$
      • 这应该是最常用、最直接的计算方法
    • $G(t, s) = \displaystyle\sum_{k = 0}^\infty\frac{\phi_k(t)\phi_k(s)}{\lambda_k}$，其中 $\{(\lambda_k, \phi_k)\}$ 为特征值问题 $\begin{cases}Ly + \lambda y = f(t)\\ B_1y = 0\\ B_2y = 0\end{cases}$ 的所有特征值以及对应的特征向量（所有 $\phi_k$ 构成标准正交序列，因此要注意将 $\phi_k$ 单位化）
  • 再找 $\begin{cases}Ly = 0\\ B_1y = \xi_1\\ B_2y = \xi_2\end{cases}$ 的解：找到 $Ly = 0$ 的两个线性独立的解 $y_1, y_2$，解线性方程组 $\begin{pmatrix}B_1y_1 & B_1y_2 \\ B_2y_1 & B_2y_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1\\ c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\xi_1\\ \xi_2\end{pmatrix}$，解为 $y = c_1y_1 + c_2y_2$
  • 上述两部分解加起来即为原方程的解

Chapter 6

• 物理系统中，拉格朗日量 $\mathcal L = K - V$，其中 $K$ 为动能，$V$ 为势能
• 一般变分问题：泛函 $S[\bold y] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal L(t, y_1, \cdots, y_n, y'_1, \cdots, y'_n){\rm d}t$（其中 $\bold y: [t_0, t_1] \rightarrow \mathbb R^n, \bold y = (y_1, \cdots, y_n)$）取极值时，Euler-Lagrange 方程 $\displaystyle\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial y'_i}\right) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial y_i}$ 成立
  • 通常可利用 Euler-Lagrange 方程解出 $\bold y$
  • 一维问题（$S[y] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal L(t, y, y'){\rm d}t$）下，如果进一步有 $\mathcal L$ 不显式含 $t$，即实际上可以写成 $S[y] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal L(y, y'){\rm d}t$，那么有 $\displaystyle\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial y'}y' - \mathcal L\right) = 0$，即 $\displaystyle\frac{\partial \mathcal L}{\partial y'}y' - \mathcal L$ 为常数
• 带限制的变分问题：泛函 $S[\bold y] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal L(t, y_1, \cdots, y_n, y'_1, \cdots, y'_n){\rm d}t$ 在限制 $G[\bold y] = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} \mathcal R(t, y_1, \cdots, y_n, y'_1, \cdots, y'_n) = 0$ 下取极值时，令 $\mathcal L_\lambda = \mathcal L + \lambda\mathcal R$，则 Euler-Lagrange 方程 $\displaystyle\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{\partial \mathcal L_\lambda}{\partial y'_i}\right) = \frac{\partial \mathcal L_\lambda}{\partial y_i}$ 成立
  • 利用 Euler-Lagrange 方程解出的 $\bold y$ 带有 $\lambda$，$\lambda$ 可由限制来确定